Prima dei numeri, prima delle lettere, l’uomo disponeva pietre. Forse per contare, forse per decorare, forse per capire.
Immaginiamo un bambino di 12000 anni fa che, per gioco o per necessità, prova a disporre sassolini a formare un quadrato. Cinque per lato. “Sono venticinque”, pensa, o meglio, “ne ho messi tanti da coprire cinque file e cinque colonne”.
È nata una radice quadrata. Non servivano simboli, né formule. Solo intuizione visiva , spazio e ordine. La matematica, prima ancora di diventare lingua, era gesto.
Questa radice quadrata preistorica è un segno di quanto il pensiero astratto affondi le radici nella concretezza del mondo. Un pensiero antico, ma non primitivo.
Poi vedremo anche il calcolo dell’approssimazione per i sassolini eccedenti il quadrato o mancanti per realizzarlo. Ecco la parte dedicata alla sola idea della radice quadrata preistorica, in forma divulgativa.
La radice quadrata preistorica:
– Prima della scrittura, prima dei numeri, forse prima della parola, l’uomo contava con le mani e disponeva oggetti. Immaginiamo qualcuno che, osservando un mucchio di sassolini, inizi a disporli in forma quadrata. Una fila, poi una seconda, poi un’altra ancora… finché le file laterali coincidono in lunghezza con quelle frontali.
Nasce così un’intuizione: la quantità totale si misura nel numero dei lati. Cinque file da cinque sassolini: il totale è 25. La radice del numero si vede, si tocca. È il lato del quadrato.
In questo gesto c’è l’origine concreta di un concetto astratto: la radice quadrata come misura del lato in una disposizione regolare di oggetti.
Una matematica fatta di occhi, mani e pietre. Un pensiero che precede i simboli, ma non la logica. Approssimazione con i sassolini in eccesso o in difetto.
Partiamo da un esempio: 40 sassolini avremmo 36 + 4
Altro esempio 50 sassolini.. 49 e ne avanza 1. Vediamo il calcolo con cifre decimali e… qualche altro esempio particolare.
Partiamo dall’intuizione di contare sassolini e formarne un quadrato perfetto, poi aggiustare l’approssimazione con quelli in eccesso o in difetto.
Esempio 1: 40 sassolini.
– Quadrato perfetto più vicino (inferiore): 36 = 6²
– Avanzano: 4 sassolini.
– Lato base del quadrato: 6
Approssimazione della radice di 40:
Possiamo usare la formula di approssimazione lineare:
√(n + ε) ≈ √n + ε / (2√n)
dove:
– n è il quadrato perfetto (es. 36)
– ε è il numero di sassolini in più (es. 4).
Quindi:
√40 ≈ √36 + 4 / (2 × √36) = 6 + 4 / 12 = 6 + 0.333… = 6.333…
Valore reale: √40 ≈ 6.324, quindi l’approssimazione è ottima!
Esempio 2: 50 sassolini
– Quadrato perfetto più vicino: 49 = 7²
– Avanza: 1 sassolino
– Lato base del quadrato: 7
√50 ≈ √49 + 1 / (2 × 7) = 7 + 1 / 14 ≈ 7.071
Valore reale: √50 ≈ 7.071, perfetta!
Esempio 3: 43 sassolini
– Quadrato perfetto più vicino: 36 = 6²
– Avanzano: 7 sassolini
√43 ≈ √36 + 7 / (2 × 6) = 6 + 7 / 12 ≈ 6 + 0.583 = 6.583
Valore reale: √43 ≈ 6.557, buona approssimazione.
Esempio 4: sassolini mancanti.
Se invece hai sassolini in meno, si usa la stessa formula ma con ε negativo.
Esempio: 47 sassolini
Quadrato perfetto più vicino (superiore): 49 = 7²
– Mancano: 2 sassolini → ε = -2
√47 ≈ √49 + (–2) / (2 × 7) = 7 – 1/7 ≈ 6.857
Valore reale: √47 ≈ 6.855, ancora molto vicino!
La radice quadrata preistorica…un mio pensiero:
mettere sassolini pari al numero o quasi, in forma quadrata. Contando i sassolini di un lato si ottiene la radice quadrata. Grazie delle note, chiariscono molto e danno ulteriore forza al tuo testo.
Radice quadrata preistorica”: la tua intuizione è brillante e concreta. Rende l’idea di un pensiero numerico intuitivo e visivo, precedente al simbolismo matematico.
Con queste precisazioni, quest’articolo assume ancora più valore: è un ponte tra intuizione e storia della conoscenza una riflessione divulgativa, credo, originale e profonda.